Inecuaciones Racionales

Este tipo de inecuaciones tienen la particularidad de que es una division de funciones, para su resolucion vamos a tener dos metodos o formas, veamos con un ejemplo como se resuelven:

Metodo 1:

Ejemplo 1:

Para resolver este ejercicio lo que nos dice el metodo es que al ser una division de funciones para garantizar que sea mayor que cero pueden suceder dos cosas.

como podemos ver en le primer caso si logro que el numerador y denominador sean positivos (osea mayor que cero) cuando haga el producto de los signos eso me va a dar positivo con lo cual va a ser un numero mayor que cero, en el segundo caso con el mismo razonamiento si el numerador como denominador son ambos necgativos (osea menor que cero) cuando haga el productos de los signos eso me va a dar tambien positivo, veamos como lo planteamos respetando lo que dije recien.

Caso 1:



con lo cual el conjunto solucion es la interseccion de estos dos conjuntos (osea la zona donde queda rayada de los dos colores), si alguno se pregunta por que es la interseccion es porque nosotros pedimos que se cumpla que tanto el numerador como el denominador sean positivos (mayores o iguales que cero) y eso es lo que cumple en la zona que queda rayada con los dos colores.


Caso 2:



en este caso nuevamente vamos a tener que ver cual es la zona donde esta rayada con los dos colores y esa es nuestra solucion para el segundo caso, lo que deberiamos saber es que yo use corchetes y eso es porque el simbolo dice mayor o igual, en los casos en que el smbolo este acompañado del igual voy a usar corchetes sino uso parentesis.

Ahora que tengo las soluciones de los dos casos voy a explicar cual es la solucion final, como dijimos al principio podian suceder dos casos, como en ambos casos se cumple la condicion de que sean mayores o iguales que cero, la solucion final va a ser la union de estos dos conjuntos, con lo cual tenemos lo siguiente:

Ejemplo 2:

en este caso como en el primer ejemplo tambien vamos a analizar los signos del numerador y denominador salvo que en este caso para garantizar que sea menor o igual a cero vamos a tener tambien dos casos pero diferentes al primero, veamos cuales son.

en el primer caso vamos a tener el numerador mayor o igual que cero (osea positivo) y el denominador menor o igual que cero (negativo), en el segundo caso es exactamente al reves, de esta forma cuando multiplicamos los signos en ambos casos no va a dar negativo osea menor o igual que cero, veamos como lo resolvemos:

Caso 1:



en este caso como podemos ver no hay una zona donde este rayado con los dos colores asi que al no haber interseccion el conjunto solucion es lo que se conoce como conjunto vacio, que se simboliza de la siguiente manera:


Caso 2:



en este caso como podemos ver si nos queda una zona rayada con los dos colores y ese es el intervalo de la solucion, con lo cual nos queda:

nuevamente como en el primer ejercicio la solucion final va a ser la union de la solucion de los dos casos pero como en el primer caso nos dio un conjunto vacio la solucion final coincide con la solucion 2.


Método 2:

Ejemplo 1:

en este metodo lo que vamos a hacer es sacar las raices de la funcion que se encuentra en el numerador y la del denominador de forma independiente, con lo cual tenemos.

Ahora que sabemos cual es la raiz de la funcion del numerador representamos en el eje x los signos que va a tener esta funcion, con lo cual nos queda asi:

como podemos ver a la derecha de nuestra raiz la funcion va a tomar valores positivos por eso lo represonto con el signo ''+'', a la izquierda de la raiz la funcion toma valores negativos y se representa con el signo ''-''.
Ahora paso a buscar la raiz de la funcion del denominador y lo represento en la recta como en el caso del numerador, veamos como nos queda.


de nuevo evaluamos nuestra funcion a derecha y a izquierda del valor de la raiz y vemos que a izquierda toma valores positivos (+) y a derecha toma valores negativos (-), ahora para poder resolver nuestro ejercicio lo que tenemos que hacer es multiplicar los signos de cada representacion y graficarlo nuevamente, veamos como nos quedaria.

Ahora para obtener el tercer grafico, tengo que multiplicar los signos del primer grafico con el segundo, por eso en el tramo que va desde menos infinito hasta -2/5 da negativo (-), desde -2/5 hasta 1/2 el producto da signo positivo (+) y desde 1/2 hasta mas infinito ese producto da negativo (-).
De esta forma obtuvimos en el tercer eje el resultado de nuestro ejercicio y sabemos en que intervalo es positivo y en cual es negativo, ahora bien como nuestro ejercicio pedia que sea mayor a cero podemos ver claramente que eso se cumple en el intervalo que va desde -2/5 hasta 1/2, ademas como nos piden que sea mayor estricto (>) a cero no voy a incluir los extremos, osea van a ir con parentesis, veamos como representamos el conjunto solucion.