FISICA: TIRO LIBRE

Bueno en esta ocasion voy a explicar a que se denomina "tiro libre", cuando tenemos un objeto que es lanzado hacia arriba o hacia abajo con una velocidad inicial distinta de cero, estamos en presencia de un ejercicio de tiro libre que no es mas que una variante del MRUV, veamos que formulas tenemos para resolverlas.

la primera se llama ecuacion de posicion dado que nos da la posicion final del objeto si conocemos su posicion inicial (Yo), su velocidad y el tiempo. La segunda ecuacion es la que relaciona la velocidad final con la velocidad inicial (Vo), la gravedad y el tiempo. habiendo hecho esta aclaracion falta algo muy importante "en cualquier problema de fisica antes de reemplazar los valores debo elegir mi SISTEMA DE REFERENCIA!! y en base a esto seran los valores de algunas variables y su respectivo signo"

ejemplo de aplicacion:
Desde la cima de una torre de 80m de altura se lanza una piedra en direccion vertical y hacia arriba con un a velocidad de 30 m/s. calcular la altura máxima alcanzada por la piedra y la velocidad con la que llegara al suelo. Bueno este es un ejercicio propuesto por Kanel, antes de comenzar lo primero que debo hacer es especificar donde va a esta mi sistema de referencia, en este caso lo que voy a hacer es suponer a mi sistema de referencia al pie de la torre con el sentido positivo de mi eje hacia arriba.

1) altura maxima: con esto ya puedo empezar a calcular. como me piden la altura maxima lo podria sacar usando la primera formula pero me doy cuenta de que no tengo el dato del tiempo, entonces voy a tener que calcularlo, ¿como lo calculo?, para poder hacerlo voy a usar la segunda formula pero si pienso un poco me voy a dar cuenta de que la velocidad final no es dato entonces ¿¿como hago?? facil, lo que tenes que darte cuenta es que cuando llega a la altura maxima su velocidad es cero!! entonces Vf=0 con esto ya puedo despejar el tiempo que tarda en llegar a la altura maxima.
0= 30 - 10.t >> el menos del 10 es porque g apunta hacia abajo y mi sistema de referencia es positivo hacia arriba, despejo t y me da t=3s. bien ya tenemos una parte, ahora si podemos saber cual es la altura maxima.
Yf = 80m + 30m/s.3s - 0,5.10(m/s^2).(3s)^2 >> Yf = 125m medidos desde la base de la torre.

2) velocidad cuando llega al suelo: para poder calcular esta velocidad debemos otra vez hallar el tiempo que tarda en tocar el suelo, para ello debemos plantear la siguiente ecuacion:
0 = 80 + 30.t -5.t^2 los valores que puse son segun mi sistema de referencia no se olviden!, ahora como veran esta es una ecuacion de segundo grado ya que la variable (en este caso t) esta elevado al cuadrado, si resuelvo esta ecuacion (si no lo saben hacer fijense que lo tengo explicado en este blog) obtengo dos valores de t que son los siguientes:   t=-2s y t=8s como se daran cuenta aunque me da dos valores de tiempo uno de ellos es matematicamente correcto pero fisicamente no, entonces el tiempo que le lleva llegar al suelo desde que lo lanzan es 8 segundos, con este dato puedo calcular su velocidad utilizando la segunda ecuacion.
Vf = 30m/s -10m/s^2.8s = -50m/s ahora veamos que el signo de la velocidad es negativo porque esta apunta hacia abajo y yo tengo mi sistema de referencia positivo apuntado hacia arriba.

Funcion Cuadratica y Ecuaciones de segundo grado

Una función cuadrática tiene como expresion generica a f(x) como se muestar arriba y su nombre se debe a que la variable X esta elevado al cuadrado, donde a, b y c son números reales y ''a'' tiene que ser distinto de cero (sino no tendria el termino cuadratico que da el nombre a esta función).
La expresión de arriba recibe el nombre de forma polinómica de la funcion cuadrática, veamos algunas de las propiedades y ejemplos.

Raíces de una función cuadrática:

Cuando tenemos una expresión como arriba estamos en presencia de una ecuacion cuadratica y lo que estamos buscando son el/los valores que hacen verdadera esa igualdad para lograr esto aplico la siguiente formula:

Esta formula nos da dos valores, X1 es una de sus raices y se calcula con el signo +, mientras que X2 es la segunda raiz y se calcula con el signo menos. Cabe aclarar que estos valores de X1 y X2 no tienen porque ser siempre disitintos sino que pueden ser iguales y eso depende del valor del discriminante que esta explicado mas adelante.

Ejemplo1:

Hay muchos ejercicios donde tenemos una expresion como la anterior y es ahi donde podemos aplicar la formulas para averiguar las raices.

Ejemplo 2:
Como vemos en este ejercicio no siempre se debe aplicar de forma directa la formula ya que como dijimos para poder hacerlo necesitamos tener expresado como se explica arriba y ademas tiene que estar igualado a cero, es por eso que en este caso necesitamos hacer unos calculos previos hasta llegar a la forma para aplicarlo.

Vertice de la Parabola de Segundo Grado:
V=(Xv;Yv)
siendo V el vertice, vamos a hallar las coordenadas osea Xv e Yv.
 
Como podemos ver el Yv se puede calcular de dos formas, con la formula que aparece o evaluando nuestra funcion f(x) en el valor de Xv, veamos un ejemplo de aplicacion.
Ejemplo1:
calcular el vertice de la siguiente funcion



Imagen de la funcion cuadratica:
Cuando nos piden que demos la imagen de la funcion cuadratica nos va a ser muy util saber cual es el vertice, ya que esta nos da informacion de nuestra imagen, supongamos que tenemos esta funcion y queremos hallar su imagen. Lo primero que tengo que hacer es calcular su vertice.


Lo que tenemos que saber es que la imagen son los valores que devuelve la funcion, como podemos ver en la grafica los valores que devuelve la funcion van desde menos infinito hasta el Yv, de esta forma podemos dar la imagen de la siguiente forma.

Forma de expresar a una función cuadrática:
Aunque ya vimos la forma polinomica que tiene la funcion cuadratica cabe aclarar que no es la unica forma en la que podemos encotrarla, veamos cuales son.
En funcion de sus raíces (factorizada):

 donde X1 y X2 son las raices de esta funcion cuadratica y ''a'' el coeficiente de su forma polinomica.
En funcion de las Coordenadas del Vertice (canónica):

Donde Xv e Yv son las componentes del Vertice, donde V=(Xv;Yv)
Discriminante:

este termino que se encuentra dentro de la raiz se la llama discriminante y los que nos permite saber es lo siguiente:

1) si el discriminante es = 0 entonces obtengo una raiz real doble (X1=X2)
2) si el discriminante es > 0 obtengo raices reales distintas (X1 distinta de X2)
3) si el discriminante es < 0 obtengo raices complejas donde una de ellas es conjugada de la otra.

como podemos ver aca se presentan los tres casos del discriminante:
el grafico verde nos muestra el caso en que el discriminante es igual a cero
el grafico azul tiene un discminante distinto de cero por eso nos da dos raices reales y distintas.
el grafico rojo tiene un discriminante menor a cero por eso sus raices son complejas y podemos obeservar que en este caso la grafica no corta al eje X.

Otra observacion muy importante que debemos hacer es que en el caso del grafico verde y rojo la curva es como una ''U'' y en la grafica azul es como una ''U'' pero dada vuelta, esto es muy facil saber antes de graficar nuestra funcion ya que si ''a'' es mayor a 0 sera como una ''U'' encambio si ''a'' es menor a 0 sera como una ''U'' invertida.
si verificamos en el caso del grafico rojo tenemos que a=3 y como es mayor a cero su grafica es como una ''U'' lo mismo en el caso del grafico verde ya que tenemos a=2 que tambien es mayor a cero.

Ecuaciones de primer grado

Cuando comenzamos el secundario una de los primeros temas que nos enseñan a resolver son las ecuaciones lineales, son simples pero muchas veces llega a confundir a aquellos que no le prestan la debida atencion ya que absorben ideas o conceptos erroneos, en este capitulo voy a intentar explicar de forma sencilla como resolverlas y los errores mas comunes que tienen los estudiantes.

Ejemplo 1:
2X - 4 = X + 1
para resolver esta ecuacion debemos recordar una de las primeras reglas, que dice que para pasar una expresion al otro lado del signo igual debemos hacerlo con la "operacion opuesta" esto es algo que confunde mucho por eso lo remarque en rojo, el error comun es pensar que "se pasa con el signo opuesto" esto es cierto solo para sumas o restas!
entonces si paso el -4 para el lado derecho del signo igual me queda
2X = X + 1 + 4
ahora podemos pasar la X al lado izquierdo del signo igual y como esta sumando en la parte derecha va a pasar con la operacion opuesta osea restando
2X - X = 1+4 resolviendo me queda
X=5
otra cosa muy importante es saber que las ecuaciones presentan la ventaja de que una vez resuelta podemos verificar si el resultado es el correcto, ¿como lo verifico? simplemente reemplazo el valor hallado por la X y debo verificar que se cumpla la igualdad en este caso la verificacion seria
2.5 - 4 = 5+1
10 - 4 = 6
6 = 6 con lo cual se verifica que el valor hallado es el correcto.

Ejemplo 2:

en este caso no podemos despejar la X directamente ya que esta afectada por 4 en el lado izquierdo y por 2 del lado derecho del igual, para poder despejar la X antes voy a tener que pasar el 4 al lado derecho y el 2 al lado izquierdo, de esta forma me queda:

ahora aplicamos distributiva a cada lado

de aca nos queda una ecuacion como la del ejemplo 1 y que no presenta ninguna dificultad

ahora ¿que nos enseña este ejemplo?, lo que nos dice es la segunda regla que debemos seguir para resolver ecuaciones de primer grado "el primer termino que puedo pasar al otro lado del igual es el que afecte a toda esta parte" en nuestro ejemplo fueron el 4 y el 2 ya que afectan a (X+2) y (3X-4) respectivamente.
Solo nos faltaria verificar que nuestro valor hallado sea el correcto para eso volvemos a reemplazar el valor hallado en la ecuacion, veamos como se hace.

como vemos esa igualdad es verdadera por lo que el valor hallado (x=2) es correcto.
Ejemplo 3:


en este caso lo primero que tenemos que hacer es eliminar los parentesis, para eso voy a aplicar la regla del producto de los signos, con lo cual nos quedaria lo siguiente

ahora podemos resolverlo como el ejemplo 1, veamos como nos queda.

queda para uds. la verificacion del valor hallado.